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研线小课堂 | 质数问题,最难的部分都在这里了
来源:研线网 | 2020-05-14 10:48:29
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“勤能补拙”,这是老祖宗给我们留下的谚语,这也是我们从小到大被灌输的内容之一。但是环顾四周,真正勤奋的人寥寥无几。真正勤奋的人,必然是已经获得了成功,或者正在走在成功的道路上。在他们的眼中,“天道酬勤”是一句真命题,因为他们用自己的勤奋换来了自己现在的成功,在他们看来,这是一句真理,按照这个原则去做事,就没有做不成的。

可是在另一些人眼里,这句话就不一定对了。同样是一句话,不同的人看来,就有不同的理解,接着是执行不同的行动,获得不同的结果。有些人天生懒惰,在他们看来,勤奋带来的痛苦,是要远远大于成功后获得的喜悦的,而且勤奋的痛苦,是比不上当下的暖被窝,是比不上现今的“葛优躺”的。

于是,仅仅是因为几个字的不同理解和不同态度,造就了人与人之间巨大的差异。

诚然,勤奋不一定就能成功,但如果不勤奋,就一定不会获得成功。用数学的语言来说,勤奋是成功的必要条件。

一年的时间说长不长,说短不短,但对于我们的考试来说,还是有些紧迫和压力的。很多学生在前期的时候会放松一些,觉得后期的时候,很快就能赶上来。而真正懂得时间分配的学生,会在此刻就把基础知识打扎实,这样后期的压力也会小很多,上考场也会自信很多。现在还不晚,加油学习吧,少年们!

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质数问题是实数运算的一块内容,虽然考的不算多,但也是实数运算的一个重点内容。经常性地和其他知识结合着进行考察。质数的概念说简单了,就是“只能写成1乘以自己个儿”。不能写成其他两个正整数相乘的形式。

20以内的质数,我们都要熟悉,分别是2,3,5,7,11,13,17,19。我们在进行考察的时候,也基本上考的都是20以内的质数,涉及到数字比较大的质数比较少。

质数中,一定要记住,除了2以外,都是奇数。为什么呀?因为除了2,要是还有个偶数存在,那它就可以写成“2乘以某个数”,就不符合质数的概念了。2是唯一的偶质数,是质数“师门”中唯一的“异类”,也因此,考查质数2的概率相对来说,比较大一些。

今天,我们就来做几道质数题,来看看做这类题的时候,有哪些注意事项和技巧。话不多说,上题:

(2010年1月)三名小孩中有一名学龄前儿童(年龄不足6岁),他们的年龄都是质数(素数),且依次相差6岁,他们的年龄之和为:

A、21    B、27    C、33   D、39    E、51

有一名儿童的年龄不足6岁,年龄还是质数,那6以下的质数,只有2,3,5,所以这名儿童的年龄只有这三种情况。

假设这名儿童年龄是2,剩余两人年龄是8,14,不是质数,排除。

假设这名儿童年龄是3,剩余两人年龄是9,15,不是质数,排除。

假设这名儿童年龄是5,剩余两人年龄是11,17,是质数,符合题意。

因此,年龄之和我们就能很轻易的算出来了,你看,真题也不难吧!

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我们再来一道真题看看:

(2015年1月)设m,n是小于20的质数,满足条件|m-n|=2的{m,n}共有:

A、2组   B、3组   C、4组   D、5组   E、6组

m,n是小于20的质数,那我们列出20以下的质数,分别是:2,3,5,7,11,13,17,19。

然后说m,n相差2,则符合要求的有3和5、5和7、11和13、17和19,总共是4组。你看也不难吧,真题中考察质数都不是很难的,而且基本上考察的质数范围都是20以下的质数,就算遇上难点的,一时不知道怎么做,那么把20以内的质数都代入算一遍,也差不多能得出答案。

刚才我们提到,在所有的质数中,2是最特别的一个,因为除了2以外,其他的都是奇数,只有它一个是偶数,所以有时候做题,我们就可以利用奇偶性和质数的概念进行结合,来轻松地解决问题。来看到题试试:

已知为p,q质数,且5p2+3q=59,则以p+3,1-p+q,2p+q-4为边长的三角形是:

A、等边三角形     B、等腰但非等边三角形

C、直角三角形     D、钝角三角形

E、以上结论均不正确

3

上面都是用比较简单的方式考察质数,下面我们来做两道偏难一点的,加深对质数这个 概念的理解。看题:

三个质数的之积恰好等于它们和的5倍,则这三个题中只给了两个条件,第一,p,q为质数;第二,5p2+3q=59。第一个条件暂时推不出什么结论,那我们就用第二个条件来做。

两个数加起来等于59,59是奇数,那我们要马上反应过来,这两个数,一个是奇数,一个是偶数。前面又说了,p,q为质数,所以p,q里面一定得有一个是2,另一个是奇数,不然没法两个数加起来等于59哇!

我们假设q=2,那么5p2=53,没有整数解,所以q=2不成立。

我们假设p=2,那么q=13,符合题意要求。

那么p+3,1-p+q,2p+q-4分别就是5,12,13。这三个数字是啥?标准的勾股定理数字啊!所以我们很快就能判断出三角形是直角三角形。质数之和为()

A、11    B、12    C、13    D、14    E、15

我们假设三个质数分别是a,b,c,那么根据题意有:

abc=5(a+b+c)

由此我们可以知道,a,b,c中必有一个是5的倍数,不然abc不可能等于5(a+b+c)。又因为a,b,c都是质数,所以a,b,c中必有一个是5。

我们假设a=5,则式子化成:

bc=5+b+c

那我们用穷举法就可以做出来了,b=2,则c=7。

这道题是根据质数的性质,首先推出来有一个是5,再然后用穷举法做出来的。不管如何,我们考察质数,不会考察很大的数字。

那下面我们再来做一道练习题,这道题涉及的数字就偏大一些,就当来练练手。我们来看题:

我们假设这三个质数分别是a,b,c。根据题意有:

由此,我们可以得到abc=3495且ab+ac+bc=1879。为啥捏?因为左边是最简分数,右边也是最简分数,所以分子等于分子,分母等于分母喽!

对于我们来说,ab+ac+bc=1879不太好计算,我们放弃它。我们研究abc=3495,我们把3495拆成几个质数的乘积的样子:

那a,b,c对应的值就是3,5,233。这里233也是质数哦!

好了,关于质数,我们就讲到这里了,希望大家在下面好好复习,我们下期再见!

责任编辑:tjl

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