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研线小课堂 | 不是跟你吹!三十秒,解决掉绝对值不等式最难的部分!
来源:研线网 | 2020-05-13 16:46:43
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有句话我们大家都很熟悉:听过很多大道理,却仍然过不好这一生。于是乎,有人觉得原因是出在这些“大道理”上,是这些“大道理”的道理还不够深刻,所以没有改变我们的命运,没有让我们过好这一生。

但是,越是活的成功,越是活的通透的人,在他们眼里,他们活的就是那些简单的“大道理”。那同样是“大道理”,为什么有的人能够活的很成功,而另一些人活的浑浑噩噩呢?答案就在于两个字:

践行

一切道理靠践行,一切的成功,也都靠践行。只是嘴上说的过瘾,如果没有真正的沉下身子去老老实实的去执行,是万不可能成功的。

有个笑话是这样讲的:一个人天天虔诚地向上帝祈祷:主啊,让我彩票中奖500万吧!每天如此,每天如此。坚持了很多天后,有一天,上帝终于降临在他面前。只见上帝怒气冲冲地对他说:你TM的倒是去买张彩票啊!

所以,在我们考研的历程中,真的没有什么捷径,真的没有什么窍门。有的就是老老实实的看书,学习和做题,有的就是每天熬夜看书的痛苦,有的就是每天坚持早起背过的单词,有的就是受到打击后仍然认为自己能考上的信心。。。。。。

这世间充斥着很多“大道理”,认真的去对待这些朴素的道理,认真的在生活工作中,实践这些道理,那些最终获得的成功,在你看来,就是这些道理“生效”了。而“大道理”只是听过,而没有严格地,不折不扣地,执拗地去执行,那持续的原地踏步,在你看来,就是这些道理“没有用”,那你再去寻找什么“更没用”的窍门,又怎么能成功呢?

1

绝对值在我们的考试中还是占据有一定的分量的,虽然考的不算很多,但是在很多题中都有体现。今天我们来看一种绝对值中比较偏难一些的题。我们争取能在这篇文章中给大家讲清楚这类题的背后原理,做题技巧。来,上题:

如果关于x的不等式|3-x|+|x-2|<a的解集是空集,则a的取值范围是

A,a<1     B,a≤1     C,a>1     D,a≥1     E,a≠1

这道题正常的做法,就是先将y=|3-x|+|x-2|的图像画出来,然后根据图像和y=a相交的情况,来最终判断a的范围。

我们先来用正常方法做一遍,然后总结一个规律。首先我们将y=|3-x|+|x-2|写成分段函数:

接着我们画出该函数在坐标轴中的简图:

你看看,形状像不像灰太狼的平底锅呢?我们把这个图形称为平底锅模型。

然后题中说,函数的值小于a的解集是空集,意思是啥?就是不能小于a呗!不能小于a,啥意思呢?就是大于等于a永远成立呗。那啥叫做永远大于等于a呢,怎么才能永远才能大于等于a呢?只有最小值都大于等于a,才能保证我永远大于等于a啊!

举个例子:李老师的财富<马云的财富是假的(可以理解成是空集),那就是李老师我的财富要≥马云的财富永远成立呗,那我怎么保证我的财富永远大于等于马云财富呢,就是我财富最低的值,都大于等于马云的财富,才能说我永远大于等于马云的财富啊!!!(哎哎哎,放下你们手中49米长的大刀)。

那这道题的关键就在于求解出函数y=|3-x|+|x-2|的最小值,根据图形,我们知道,最小值是1,那就是1大于等于a,即a≤1。这就是答案了。

那能不能再简单一些,我们能不能不画图,就找出这类函数的最小值呢?

当然可以啦,类似于y=|3-x|+|x-2|的函数,两个绝对值中间是+号的,只有最小值,没有最大值。最小值是两个零点的差的绝对值。什么是零点呢,就是我们令绝对值内部等于0,得出来的x的值。比如这个函数y=|3-x|+|x-2|的两个零点是3和2,那3和2的差是±1,其中的正1就是函数的最小值(为啥不是-1,因为两个绝对值相加,不可能是负数啊!)

所以类似于y=|x-a|+|x-b|的最小值就是两个零点的差,要正的那个,即|a-b|!

2

我们再来两道同类型的题,练练手:

不等式|x-2|+|4-x|<s无解.

(1)s≤2.     (2)s>2.

首先我们判断函数y=|x-2|+|4-x|的最小值,两个零点是2和4,最小值是4-2=2,图形是平底锅模型。|x-2|+|4-x|<s无解,也就是空集的意思,就是|x-2|+|4-x|不能小于s呗,那就是|x-2|+|4-x|≥s恒成立喽,那就是2≥s喽。条件(1)充分,选A。

方程|x+2|+|x-8|=a有无数正根.

(1)-4<a<4.     (2)a=4.

首先我们判断函数y=|x+2|+|x-8|的最小值,两个零点是-2和8,最小值是8-(-2)=10,图形是平底锅模型。方程|x+2|+|x-8|=a有无数正根,说明函数y=|x+2|+|x-8|和函数y=a有无数个交点啊,那就是函数y=a的图像和函数y=|x+2|+|x-8|的图像有某条线重合啊!那就只能是和平底锅的底重合了(y=a平行于x轴,只能和底重合)。重合就是值相等。所以a就是函数y=|x+2|+|x-8|的最小值,即a=10。这道题选E喽。

3

那有同学会问了,老师,上面的都是两个绝对值相加的形式,有没有两个绝对值相减的形式呢?当然有了,看题:

若不等式|x+3|-|x-6|>a有解,则a的取值范围是

A,a>-9   B,a≤-9   C,a≤9   D,a<9   E,a>9

这类题的图形画出来是个Z字型或者反Z字型(这里要求你自己在图上画一下,验证一下)。不过具体是Z字型还是反Z字型都无关紧要,我们关心的是最大值和最小值。

那像这类两个绝对值相减的类型,它是有最大值和最小值的。如何确定两个最值的大小呢?首先,找零点,-3和6。其次,作差,两个零点的差,-9和9。好了,-9就是最小值。9就是最大值。So easy!

|x+3|-|x-6|>a有解,意思就是不管a咋样蹦跶,我都能大于你,意思就是我只需要保证我的最大值能大于你就ok了。最大值是9,那就是9>a,即a<9了。选D。

好了,上面是我们用比较简单的形式讲解了这类题的做法,我们下面给出通用的模型总结,大家要记好呀!

好了,我们这期的内容就讲到这里啦。感谢大家观看,欢迎大家点赞收藏点在看。威廉詹姆斯说过:人类本质中最殷切的需求,是渴望得到他人的肯定。您的支持,是我持续输出优质内容的动力!我们下期再见!

责任编辑:tjl

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